Calculus Cases: la presa
El embalse de Valdemora está casi en su límite de operación y una tormenta avanza hacia el valle. Durante tres horas, el río traerá mucha más agua de la habitual, y seis kilómetros aguas abajo está el pueblo de Sotobarca, cuyas calles bajas se inundan si la presa suelta demasiada. El inspector jefe, papel que asume el docente, reúne un comité por cada tres estudiantes: tiene que elegir un desembalse constante que mantenga el embalse por debajo de su límite durante toda la tormenta sin dañar al pueblo.
Nadie del comité tiene toda la información. Quien hace de topografía tiene el levantamiento de las secciones sumergidas del embalse y calcula el agua que ya hay; quien hace de hidrología tiene la previsión del caudal y calcula la que va a llegar, y quien representa al municipio conoce el límite del pueblo y el informe de una tormenta anterior en la que el embalse superó su límite aunque el valor final dijera lo contrario. La decisión necesita dos integrales sucesivas, la primera en el espacio y la segunda en el tiempo, y saber qué mide cada una.
El caso sigue el formato de todos los Calculus Cases:
- Lanzamiento, al final de una clase (18 min). Proyectas la presentación: la tormenta, lo que pide la unidad, las unidades de las tres cantidades del caso y los comités de la clase. Cada estudiante recibe la hoja A, común, y la hoja de su especialidad.
- En casa (45–60 min). Cada especialista resuelve su hoja: el volumen inicial, la entrada de agua y la fórmula del volumen, o el límite del pueblo y el precedente.
- Clase de cierre (55 min). Reunión de cada comité, decisión y recomendación firmada, audiencia pública con un aviso de última hora, formalización y comprobación individual.
Generador de materiales
El configurador te guía en cuatro pasos. Lo único imprescindible es el número de estudiantes: con él, la web forma los comités de tres especialistas y calcula cuántas copias de cada hoja hay que imprimir. Todo lo demás tiene ya un valor recomendado, que coincide con el del libro.
Documentos de la actividad
Empieza por la guía de impresión y reparto: dice qué imprimir, cómo, cuántas copias y cuándo se entrega cada documento. El paquete docente contiene la solución y no debe circular. En cada pestaña, la fila roja descarga un ZIP con todo su contenido; los iconos permiten ver o descargar cada archivo.
Dos integrales y una idea de acumulación
| Especialista | Matemáticas | Lo que aporta al comité |
|---|---|---|
| Topografía (hoja B) | Volumen por secciones: sumas de láminas \(A(x_i)\,\Delta x\) y la integral \(\int_0^{2000} A(x)\,dx\) | El agua que ya está en el embalse, \(V_0\) |
| Hidrología (hoja C) | Acumulación en el tiempo: \(\int_0^3 q(t)\,dt\) y el balance \(V(t)=V_0+\int_0^t (q-r)\) | El agua que va a llegar y el volumen en cada instante |
| Municipio (hoja D) | El máximo de una función en un intervalo; el signo de \(V’\) | Qué caudales admite el pueblo y por qué un valor final no basta |
Las dos integrales del caso tienen la misma estructura: una densidad o un ritmo multiplicado por el incremento adecuado y sumado. La primera reconstruye en el espacio una cantidad que ya está ahí, el agua almacenada; la segunda acumula en el tiempo una cantidad que todavía no ha llegado. El comité solo puede decidir cuando las junta en el balance \(V(t)=V_0+\int_0^t (q(u)-r)\,du\), con el desembalse restando.
La decisión es correcta por dos razones que conviene separar. La primera es una comprobación en todo el intervalo, no solo al final: como \(V’(t)=q(t)-r\) es positiva con cualquier caudal de la compuerta, el volumen no deja de crecer y su máximo está en \(t=3\). El precedente de la hoja D muestra lo que ocurre cuando eso falla: un volumen final por debajo del límite que esconde un máximo por encima. La segunda razón es que la opción que más baja el embalse es justo la que el pueblo no admite, así que solo queda una. Si el comité pudiera elegir cualquier caudal, habría un intervalo de opciones válidas; la unicidad viene de la lista, no de las matemáticas. La audiencia termina midiendo el margen: cuánto podría equivocarse la previsión antes de que ninguna opción sirviera.
El embalse, el pueblo, las personas, los informes y los datos son ficticios y exclusivamente educativos. La decisión del caso no dice nada sobre la seguridad de una presa real. Las ilustraciones de la cabecera y de la tarjeta están dibujadas por programa.