Calculus Cases: la persecución de Ciudad Delta
Un turismo burdeos se salta el control de salida del puerto de Ciudad Delta y atraviesa la ciudad hasta perderse por la autovía del norte. La patrulla no consigue seguirlo: de su recorrido solo queda el registro de las cámaras de tráfico con lectura de matrículas. El inspector jefe, papel que asume el docente, quiere saber por dónde pasó el coche y qué puede afirmarse con seguridad en cada tramo. Tres equipos reciben extractos casi idénticos de ese registro. Por la ciudad circula otro coche del mismo modelo, de un rojo parecido y con una matrícula parecida, y una lectura apresurada puede llevar a la conclusión equivocada.
La actividad tiene dos fases que no se mezclan:
- Evidencia, en casa. Cada fotografía es un dato puntual: una cámara, una hora y una matrícula. El consultor que llevaba el caso dejó su hoja de investigación a medias, con diez pruebas pasadas a limpio como ejemplo; los equipos la retoman, comprueban todas las matrículas, descartan los errores de identificación y proponen candidatos para lo que ocurre cerca de cada punto delicado. Solo una foto del coche buscado da su posición en ese instante, y un número finito de fotografías no demuestra ningún límite.
- Coordinación y modelo, en clase. Los equipos comparan sus informes prueba a prueba y después se abre un sobre con un modelo explícito de la trayectoria, dos funciones del tiempo, acompañado de las notas manuscritas del consultor que explican cómo lo dedujo de las fotografías; los dos primeros tramos de cada función son los que el alumnado habrá propuesto en casa. Sobre esas funciones sí se calculan valores, límites laterales y límites, y se clasifican la continuidad, la discontinuidad evitable, el salto, la oscilación y el límite infinito. Antes de la fórmula, la sola hipótesis de continuidad permite usar el teorema del valor intermedio en el túnel.
El plano lleva una cuadrícula de columnas, de oeste a este, y de cotas, de sur a norte. La posición del coche en el instante (t) se da con dos números: su columna (e(t)) (de este) y su cota (n(t)) (de norte). Cada fotografía válida da los dos a la vez: la hora fija (t) y la cámara, la columna y la cota. Sobre el plano, el punto ((e(t),n(t))) dibuja la calle por la que pasa el coche; para estudiar límites y continuidad, cada coordenada se mira por separado, frente al tiempo. Así aparece sin nombrarla una representación paramétrica: la columna avanza sin saltos, a distinta velocidad en cada tramo, y todos los fenómenos del caso están en la cota.
La actividad sigue el formato de todos los Calculus Cases: se lanza al final de una clase (15–20 minutos, con la presentación proyectada y el reparto de los paquetes), la parte mecánica se hace en casa y la clase siguiente se dedica a la reunión de coordinación, el modelo y la exposición de cada equipo.
\[e(t)=\begin{cases} 1.5t & \text{si } 0\le t\le 2,\\ 0.5t+2 & \text{si } 2<t\le 8,\\ 1.5t-6 & \text{si } 8<t<12, \end{cases} \qquad n(t)=\begin{cases} t^{2} & \text{si } 0\le t\le 2,\\ t+2 & \text{si } 2<t<8,\\ 11+\sin\!\left(\dfrac{\pi}{10-t}\right) & \text{si } 8\le t<10,\\ 10+\dfrac{4}{12-t} & \text{si } 10\le t<12. \end{cases}\]
Generador de materiales
Elige la ciudad, la fecha, la hora de inicio y la matrícula del vehículo perseguido. El generador propone una segunda matrícula confundible, del mismo formato y con dos o tres caracteres cambiados, que puedes editar. Esa es la matrícula del otro coche: el mismo modelo, en un rojo cobrizo parecido al burdeos del coche buscado, pero distinto si se mira con atención. Las matrículas se colocan en perspectiva sobre cada fotografía, igual en la vista previa que en los PDF.
Documentos de la actividad
Empieza por la guía de impresión y reparto: dice qué imprimir, cómo, cuántas copias y cuándo se entrega cada documento. El paquete docente contiene la comparación de equipos y no debe circular. En cada pestaña, la fila roja descarga un ZIP con todo su contenido; los iconos permiten ver o descargar cada archivo.
Qué se estudia en cada punto
| Lugar del plano | Evidencia (fase 1) | Con el modelo (fase 2) |
|---|---|---|
| Glorieta de la Lonja, (t=2) | Fotos a ambos lados y en el instante exacto | Las dos coordenadas son continuas: (e(2)=3), (n(2)=4) |
| Túnel del Río, (3<t<5) | Solo los dos portales | Con la hipótesis de continuidad, el TVI asegura un instante bajo el río (cota 6) |
| Avenida Diagonal, (t=6) | Según el equipo: el coche buscado, el confundible o una detección sin imagen | (e) y (n) son continuas; el registro automático (g) de la cota tiene una discontinuidad evitable |
| Cuesta del Enlace, (t=8) | Cotas hacia 10 por la izquierda y hacia 12 por la derecha; la columna no cambia | Salto finito de (n); (e) continua |
| El Laberinto, (t\to10^-) | Cotas que alternan entre 10 y 12 | No existe el límite de (n) por la izquierda (oscilación); (e) tiende a 9 |
| Autovía del Norte, (t\to12^-) | Cotas 14, 18, 30, 50…; columnas cada vez más cerca de 12 | (n) tiene límite infinito (asíntota (t=12)); (e) tiende a 12, el ferrocarril |
Una fotografía de la matrícula confundible no es una posición del coche buscado: se clasifica como error de identificación y, en ese instante, la posición del coche buscado queda desconocida para ese equipo. Tampoco una detección sin imagen significa que el coche no tuviera posición: estaba en algún sitio, pero nadie puede comprobar la matrícula.
El plano está estilizado: la columna avanza a un ritmo verosímil, pero la cota exigiría, a escala real, recorridos imposibles cerca de (t=8), (t=10) y (t=12). Por eso no lleva escala en metros y la actividad no pide calcular distancias ni velocidades. El salto, la oscilación y el límite infinito son idealizaciones del modelo, no hechos que una cámara pueda registrar; la guía docente explica cómo tratarlo si la clase lo advierte.
La ciudad, las matrículas, los vehículos y el registro son ficticios y exclusivamente educativos. Las fotografías se han generado con inteligencia artificial y no representan lugares ni personas reales.