Calculus Cases: la caja de palomitas perfecta
Una cadena de cines anuncia su nuevo envase con una afirmación rotunda: «La caja de mayor capacidad: más palomitas con el mismo cartón». Una asociación de consumidores denuncia un posible fraude a gran escala que podría afectar a cientos o miles de clientes. La policía encarga a un equipo de consultoría técnico-forense que analice de forma independiente la evidencia matemática y emita el dictamen final.
La caja se construye a partir de una hoja rectangular de lados (L) y (W). Se recorta en cada esquina un cuadrado de lado (x), siempre del mismo tamaño, y se pliegan las cuatro paredes. La altura será (x) y la base medirá ((L-2x)\times(W-2x)), de modo que
\[V(x)=x(L-2x)(W-2x), \qquad 0<x<\frac{\min(L,W)}{2}.\]El generador calcula la caja óptima para formatos habituales o para una hoja personalizada. Después crea la plantilla a escala real, el anuncio, la reclamación, la patente ficticia, los dossieres independientes de la Asociación de Consumidores, el cine y la consultoría policial, además de la solución reservada al profesorado.
Documentos de la actividad
Usa los paquetes por rol para repartir la actividad. En cada pestaña, el ZIP rojo descarga todos los archivos de esa sección; los iconos permiten ver o descargar cada archivo. La plantilla usa una página PDF del tamaño exacto de la hoja: imprímela al 100 %, sin «ajustar a página».
Por qué el corte generado es óptimo
Al derivar la función volumen obtenemos
\[V'(x)=12x^2-4(L+W)x+LW.\]Sus dos raíces son
\[x=\frac{(L+W)\pm\sqrt{L^2-LW+W^2}}{6}.\]La raíz con el signo menos es la única que pertenece al dominio físico:
\[x^*=\frac{(L+W)-\sqrt{L^2-LW+W^2}}{6}.\]El generador compara este punto crítico con los extremos del intervalo, donde el volumen es cero, y comprueba además que (V’‘(x^)<0). Por tanto, (x^) produce el máximo global dentro del modelo: una hoja rectangular fija, cuatro recortes cuadrados iguales, una caja abierta y ningún material adicional.
Los documentos de publicidad, reclamación y patente son ficticios y exclusivamente educativos. No constituyen publicidad real, asesoramiento jurídico ni una solicitud de patente.