Calculus Cases: la caja de palomitas perfecta
Una cadena de cines anuncia su nuevo envase con una afirmación rotunda: «La caja de mayor capacidad: más palomitas con el mismo cartón». Una asociación de consumidores asegura haber construido, con la misma hoja, una caja en la que caben más palomitas, y denuncia un posible fraude a gran escala. El inspector jefe, papel que asume el docente, reparte el caso entre tres equipos: la Asociación de Consumidores construye cajas con cortes distintos y sostiene la acusación; el equipo del cine fabrica la caja registrada en la patente; y la consultoría técnico-forense de la policía calcula por su cuenta, sin ver la patente, qué caja es la mayor, y emite el dictamen.
El caso sigue el formato de todos los Calculus Cases, con una diferencia: las cajas se construyen en clase, porque es barato y es la parte más divertida.
- Lanzamiento, al final de una clase (15–20 min). Proyectas la presentación: el anuncio, la denuncia, la pregunta y los tres equipos de tu clase. Cada pareja o grupo recibe su paquete, y cada pareja de la Asociación elige su corte.
- En casa. La consultoría modela, deriva y demuestra el máximo sin conocer la patente (45–60 min); la Asociación calcula el volumen que predice su corte y el cine prepara la fabricación (15–20 min).
- Clase de cierre (60 min). Se construyen y se miden las cajas (fase 1, 25 min); la consultoría recibe la reclamación y la patente y, con las palomitas, se hace la prueba de trasvase (fase 2, 15 min); la consultoría emite su dictamen (12 min) y cada estudiante hace una comprobación individual (5 min).
La caja se construye a partir de una hoja rectangular de lados (L) y (W). Se recorta en cada esquina un cuadrado de lado (x), siempre del mismo tamaño, y se pliegan las cuatro paredes. La altura será (x) y la base medirá ((L-2x)\times(W-2x)), de modo que
\[V(x)=x(L-2x)(W-2x), \qquad 0<x<\frac{\min(L,W)}{2}.\]Generador de materiales
El configurador te guía en cuatro pasos. Lo único imprescindible es el número de estudiantes: con él, la web forma los tres equipos, calcula cuántas copias hay que imprimir de cada documento y cuántas hojas y palomitas hacen falta. Todo lo demás tiene ya un valor recomendado.
Documentos de la actividad
Empieza por la guía de impresión y reparto: dice qué imprimir, cómo, cuántas copias y cuándo se entrega cada documento. El paquete del profesorado contiene la solución y no debe circular. En cada pestaña, la fila roja descarga un ZIP con todo su contenido; los iconos permiten ver o descargar cada archivo.
Por qué el corte generado es óptimo
Al derivar la función volumen obtenemos
\[V'(x)=12x^2-4(L+W)x+LW.\]Sus dos raíces son
\[x=\frac{(L+W)\pm\sqrt{L^2-LW+W^2}}{6}.\]La raíz con el signo menos es la única que pertenece al dominio físico:
\[x^*=\frac{(L+W)-\sqrt{L^2-LW+W^2}}{6}.\]El generador compara este punto crítico con los extremos del intervalo, donde el volumen es cero, y comprueba además que (V’‘(x^)<0). Por tanto, (x^) produce el máximo global dentro del modelo: una hoja rectangular fija, cuatro recortes cuadrados iguales, una caja abierta y ningún material adicional. Cerca del óptimo la curva de volumen es casi plana, y por eso las palomitas apenas distinguen una caja buena de la mejor: lo que decide el caso es la derivada.
Los documentos de publicidad, reclamación y patente son ficticios y exclusivamente educativos. No constituyen publicidad real, asesoramiento jurídico ni una solicitud de patente.