Secciones cónicas
Las secciones cónicas son las figuras geométricas que se obtienen al realizar un corte recto a un cono. Estas figuras se caracterizan por sus propiedades de simetría, además de poderse definir de un modo sencillo en términos de distancias entre puntos del plano. Aunque las cónicas han sido estudiadas durante más de dos milenios, el interés por estas figuras ha aumentado en los últimos siglos al descubrirse que las órbitas que describen el movimiento de los astros son, aproximadamente, curvas de este tipo.
Si tenemos un cono vertical de revolución, la circunferencia es la sección que se obtiene al realizar un corte con un plano horizontal. Si la inclinación del plano es menor que la de la recta generatriz obtenemos una elipse. Cuando la inclinación del plano coincide con la inclinación de la recta generatriz, aparece la parábola. Por último, si la inclinación es mayor que la de la recta generatriz obtenemos una hipérbola.
A continuación mostramos diferentes procesos para construir las cónicas.
Dibujando secciones cónicas con una cuerda
Estas pestañas son desplegables: pulsa cada una para ver su contenido.
Instrucciones:
- Fija el bolígrafo, lápiz o tiza a uno de los extremos de la cuerda. Fija el otro extremo en el punto que será el centro de la circunferencia y, manteniendo la cuerda tensa en todo momento, dibuja la figura utilizándola como si fuera un compás.
Arrastra el centro C para mover la circunferencia. El lápiz recorre la curva al mover el deslizador.
Método del círculo director
Estas pestañas son desplegables: pulsa cada una para ver su contenido.
Instrucciones:
- Dibuja una circunferencia lo más grande posible sobre un papel. El radio de la circunferencia será el semieje mayor de la elipse.
- Marca un segmento que atraviese la circunferencia y pase por el centro.
- Marca dos puntos F1 y F2 del segmento que estén dentro del círculo y a la misma distancia del centro. Estos serán los focos de la elipse.
- Coloca una escuadra dentro del círculo de modo que uno de los lados pase por el punto F1 y el vértice de su ángulo recto se apoye sobre la circunferencia.
- Marca el segmento interior de la circunferencia definido por el lado de la escuadra que no pasa por F1.
- Repite el paso anterior cambiando la posición de la escuadra hasta recorrer toda la circunferencia. Aunque en cada paso se puede utilizar cualquiera de los focos, es más fácil usar el que se encuentra a mayor distancia del punto escogido de la circunferencia.
Haz clic en F1 o F2 (el foco activo tiene un anillo naranja) para elegir con qué foco trabajas. El deslizador recorre el semicírculo de ese foco. Cambia al otro foco para completar la elipse.
Creando cónicas con plegados de papel
Estas pestañas son desplegables: pulsa cada una para ver su contenido.
Instrucciones:
- Dibuja un círculo lo más grande posible en un papel y marca su centro F1. Este será el primer foco de la elipse. Aunque puede utilizarse cualquier papel, el de papiroflexia funciona muy bien porque es resistente y los plegados quedan marcados con claridad, lo que facilita su visualización.
- Marca un punto como F2 dentro del círculo que no sea su centro, pero que esté alejado del borde. Este será el segundo foco de la elipse. Es recomendable que los focos estén separados para que la elipse se aprecie mejor.
- Dobla el papel de modo que el punto F2 se coloque encima de cualquier punto de la circunferencia y aprieta el pliegue para marcarlo en el papel.
- Abre el papel y coloca el punto F2 sobre otro punto de la circunferencia cercano al primero. Marca de nuevo el pliegue en el papel.
- Repite el paso anterior escogiendo nuevos puntos hasta recorrer toda la circunferencia completa.
- Al finalizar debería de apreciarse una elipse. Si este no es el caso, continúa realizando más pliegues hasta que se note bien la figura.
Se eligen puntos equiespaciados sobre la circunferencia y, en cada paso, el papel se pliega para hacer coincidir F2 con el punto seleccionado.