Simulación del Modelo Depredador-Presa de Lotka-Volterra

El modelo Depredador-Presa utiliza las ecuaciones de Lotka-Volterra propuestas de forma independiente por Alfred J. Lotka (1880 – 1949) en 1925 y Vito Volterra (1860 – 1940) en 1926 para describir la dinámica de sistemas biológicos en los que dos especies interactúan. Este modelo estudia la evolución de dos sociedades que conviven en un entorno, una como presa y otra como depredador. Por ejemplo una población formada por lobos y conejos. 

En este caso tenemos dos poblaciones cuya evolución depende del tiempo y de las interacciones entre las mismas. La modelización de esta situación requiere de dos ecuaciones diferenciales con dos incógnitas.

Denotando por \(\textstyle L(t)\) el número de lobos y por \(\textstyle C(t)\) el número de conejos, las ecuaciones propuestas por Lotka y Volterra que representan el modelo matemáticamente son:

\[\begin{cases} \frac{dC}{dt}&=\alpha C -\beta L\cdot C,\\ \frac{dL}{dt}&=\delta L\cdot C -\gamma L. \end{cases}\]

Los parámetros \(\textstyle \alpha, \beta, \delta\) y \(\textstyle \gamma\) son números positivos que representan las interacciones de las dos especies. La primera de las ecuaciones nos indica que la cantidad de conejos aumenta de modo proporcional a su número, pero disminuye de forma proporcional a la cantidad de encuentros entre las dos especies porque los lobos se comen a los conejos. La segunda de las ecuaciones establece que la cantidad de lobos aumenta de modo proporcional a las interacciones entre las dos especies, pero disminuye de modo proporcional a la cantidad de lobos. Esta disminución aparece porque al haber más lobos conviviendo juntos hay más competencia y dificultad para conseguir presas. A diferencia de los lobos, suponemos que los conejos no tienen dificultad para encontrar comida independientemente de cuántos haya.

El siguiente applet interactivo nos representa las soluciones de la funciones \(\textstyle L(t)\) y \(\textstyle C(t)\) dependiendo de los parámetros \(\textstyle \alpha, \beta, \delta\) y \(\textstyle \gamma\).