Filtración de imágenes interactivas con la tranformada de Fourier discreta (DFT)
Filtrado de Imágenes con Transformada Discreta de Fourier (DFT)
Selección de Imagen
Imagen Original (Redimensionada y en Gris)
Valores de la Matriz (Primeros 10x10)
Filtros y Coeficientes de Fourier
¿Cómo funcionan los filtros en el dominio de la frecuencia?
La Transformada de Fourier descompone una imagen en sus componentes de frecuencia. Cada punto en el espectro de Fourier representa una frecuencia específica (rapidez del cambio de intensidad) en una dirección particular:
- Bajas frecuencias (cerca del centro del espectro): Representan cambios suaves y graduales en la imagen (áreas uniformes, brillo general).
- Altas frecuencias (lejos del centro del espectro): Representan cambios bruscos y detalles finos (bordes, texturas, ruido).
El filtrado en el dominio de la frecuencia consiste en modificar (multiplicar) el espectro de Fourier de la imagen con una función de transferencia del filtro (máscara de filtro) y luego aplicar la Transformada Inversa de Fourier (IDFT) para obtener la imagen filtrada.
Tipos de Filtros Ideales:
(Estos son filtros ideales con cortes abruptos, usados aquí con fines demostrativos)
Filtro Paso Bajo (LPF)
Conserva las frecuencias bajas y elimina (pone a cero) las altas frecuencias por encima de una frecuencia de corte (D₀).
- Suaviza la imagen (efecto de desenfoque).
- Reduce el ruido de alta frecuencia.
- Elimina detalles finos y texturas.
Máscara de Filtro: Se crea una máscara circular en el espectro centrado. Los coeficientes dentro del círculo (distancia al centro ≤ D₀) se mantienen (multiplican por 1), y los de fuera se anulan (multiplican por 0).
Filtro Paso Alto (HPF)
Conserva las frecuencias altas y elimina (pone a cero) las bajas frecuencias por debajo de una frecuencia de corte (D₀).
- Resalta los bordes y detalles finos.
- Atenúa las variaciones suaves (componente de baja frecuencia).
- Puede amplificar el ruido.
Máscara de Filtro: Se crea una máscara circular en el espectro centrado. Los coeficientes dentro del círculo (distancia al centro < D₀) se anulan (multiplican por 0), y los de fuera se mantienen (multiplican por 1).
Filtro Paso Banda (BPF)
Conserva un rango específico de frecuencias entre un límite inferior y superior (o centrado en D₀ con un cierto ancho).
- Permite aislar características o texturas de un tamaño específico.
- Elimina tanto las frecuencias muy bajas como las muy altas.
Máscara de Filtro: Se crea una máscara en forma de anillo en el espectro centrado. Los coeficientes dentro del anillo (distancia al centro entre D₁ y D₂) se mantienen (multiplican por 1), y los demás se anulan (multiplican por 0).
Nota sobre los Coeficientes DFT
Cada punto (k, l) en el espectro DFT 2D, F(k, l), es un número complejo:
- Magnitud |F(k, l)|: Indica la "cantidad" o importancia de la componente de frecuencia (k, l) en la imagen. El brillo en la visualización del espectro representa la magnitud (generalmente en escala logarítmica).
- Fase ∠F(k, l): Indica el desplazamiento espacial de esa componente de frecuencia. Es crucial para la reconstrucción correcta de la imagen.
- Distancia al centro: En el espectro centrado, la distancia desde el punto (k, l) al centro es proporcional a la frecuencia espacial radial.
- F(0, 0): El coeficiente en el origen (antes de centrar) representa la componente DC (frecuencia cero), relacionada con el brillo promedio de la imagen. Es el punto más brillante en el centro del espectro centrado.
Controles del Filtro
Espectro de Frecuencia (Magnitud DFT)
Espectro Original (Centrado, Log)
Espectro Filtrado (Centrado, Log)
Interpretación del Espectro de Frecuencia (Visualización Centrada)
El espectro mostrado es una representación visual de la magnitud de los coeficientes de la DFT, con la frecuencia cero (DC) desplazada al centro y usando una escala logarítmica para mejorar la visibilidad:
- Centro del espectro (punto más brillante):
- Representa la componente DC (frecuencia cero), relacionada con el brillo promedio de la imagen.
- Las frecuencias más bajas (cambios lentos) están más cerca del centro.
- Bordes del espectro:
- Representan las frecuencias más altas (cambios rápidos, detalles finos, bordes).
- Dirección desde el centro:
- Indica la orientación de los patrones en la imagen.
- Puntos brillantes a lo largo del eje vertical indican patrones predominantemente horizontales en la imagen.
- Puntos brillantes a lo largo del eje horizontal indican patrones predominantemente verticales en la imagen.
- Puntos brillantes en diagonal indican patrones diagonales.
- Brillo en el espectro:
- Mayor brillo = Mayor magnitud = Mayor presencia de esa frecuencia/orientación específica en la imagen.
- La escala logarítmica (log(1 + magnitud)) comprime los valores altos y realza los bajos, haciendo visibles más detalles del espectro.
- El espectro de magnitud es simétrico respecto al centro para imágenes reales.