Jekyll2026-07-06T23:07:06+00:00/feed.xmlJavier FalcóPágina web personal de Javier FalcóArchimedean Solids2022-02-24T14:54:31+00:002022-02-24T14:54:31+00:00/posts/MatExp/geometry/solids/-poliedros--Solidos-arquimedianos-enArchimedean Solids son los poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares de dos o más tipos y cuyas aristas se encuentran en vértices idénticos. Normalmente se excluyen de esta familia los prismas y antiprismas. Eisten en total trece sólidos arquimedianos.

El siguiente applet informático del sition web Wolfram Demostration Project nor pernite interacturar con estos trece sólidos:

Flat Models

]]>Javier FalcóPlatonic Solids2022-02-20T14:54:31+00:002022-02-20T14:54:31+00:00/posts/MatExp/geometry/-poliedros--Solidos-platonicos-enPlatonic Solids son los poliedros convexos en los que todas las caras están formadas por el mismo polígono regular y en todos los vértices se juntan el mismo número de caras.

El siguiente applet informático del sition web Wolfram Demostration Project nor pernite interacturar con estos trece sólidos:

A continuación mostramos diferentes métodos para construir los cinco sólidos platónicos.

Method 1 - Polygons

Recorta 32 triángulos equiláteros, 6 cuadrados y 12 hexágonos de cartulina. Utilizando cinta adhesiva une los lados de los polígonos para construir las figuras. La flexibilidad de la cinta adhesiva permite colocar los polígonos en la posición adecuada y hace que este sea uno de los métodos más fáciles, aunque laborioso, de construir los sólidos platónicos.

Tetraedo realizado utilizando polígonos regulares. Cubo realizado utilizando polígonos regulares. Icosaedro realizado utilizando polígonos regulares. Dodecaedro realizado utilizando polígonos regulares.

Método 2 - Flat Models

Imprime los modelos planos:

Method 3 - Magnetic Construction Set.

Con el juego magnético de construc- ción representa los sólidos platónicos utilizando las barras como aristas y las bolas como vértices. Este es el método más sencillo.

Method 4 - Balloons

Hincha globos de globoflexia de la misma longitud. Utilízalos para hacer las aristas del poliedro uniendo sus extremos para formar los vértices hasta completar la figura. Si los globos son muy largos tienden a doblarse. Una solución es utilizar un solo globo para varias aristas del poliedro. Para ello, una vez hinchado, hay que dividirlo en dos o tres partes iguales retorciéndolo sobre sí mismo varias veces. En este paso, si quieres unir varios globos en los vértices del poliedro, debes retorcerlos entre ellos para asegurarlos y dar estabilidad a la estructura. Este método permite crear representaciones de gran tamaño con bastante facilidad.

Method 5 - Origami

Realiza los pliegues sobre el papel para construir los sólidos con papiroflexia modular siguiendo las instrucciones disponibles en los siguientes enlaces.

]]>Javier FalcóSIR Model Simulation2022-02-11T10:00:31+00:002022-02-11T10:00:31+00:00/posts/MatExp/applied/modeling/-Modelo-SIR-enEl modelo matemático SIR cuyas siglas provienen de Susceptibles-Infectados-Recuperados se utiliza para representar y estudiar matemáticamente la evolución de enfermedades infecciosas, como por ejemplo la pandemia causada por el virus de la COVID-19. En este modelo la población se divide en tres grupos distintos:

  • Susceptibles: sujetos que no han contraído el virus y pueden contagiarse por el mismo.
  • Infectados: sujetos que han contraído el virus.
  • Recuperados: sujetos que han contraído el virus y se han curado. En este grupo también se incluyen los fallecidos aunque no hayan conseguido superar la enfermedad. Es por ello que en inglés es común denominar este grupo por removed.

En los modelos más simples suponemos que una persona que ha contraído el virus y se ha curado ha desarrollado anticuerpos y no vuelve a contagiarse. En el caso de sujetos que fueran inmunes al virus, por ejemplo por razones genéticas, estos se incluirían directamente en el grupo de los recuperados.

La cantidad de individuos susceptibles, infectados y recuperados variará con el paso del tiempo, de modo que tenemos tres funciones en las que la variable independiente es el tiempo, \(\textstyle S(t), I(t)\) y \(\textstyle R(t)\).

Algunas hipótesis que añadimos a nuestro modelo son:

  • La población es constante, es decir \(\textstyle N=S(T)+I(t)+R(t)\). Esta hipótesis establece que la epidemia no se extiende durante el suficiente tiempo como para que la cantidad de individuos en la población varíe. Entre otras cosas ignoramos los nuevos nacimientos, la inmigración y los fallecimientos por causas ajenas al virus.
  • Todos los individuos tienen la misma probabilidad de infectarse.
  • Suponemos que la posibilidad de infectarse por el virus es proporcional al número de contactos que hay entre personas infectas y personas susceptibles, y esta proporcionalidad no varía con el tiempo.
  • Los individuos que dejan de ser susceptibles es porque han sido infectados.
  • Los contactos entre los distintos individuos de la población se producen de forma aleatoria y uniforme.

Estas hipótesis se representan con el siguiente diagrama donde se establece que los individuos solamente pueden desplazarse de la categoría de susceptibles a infectados y de la de infectados a recuperados.

Diagrama SIR

Matemáticamente el modelo viene representado por el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias:

\[\begin{cases} \frac{dS}{dt}=-\beta I\frac{S}{N}\\ \frac{dI}{dt}=\beta I\frac{S}{N}-\gamma I\\ \frac{dR}{dt}=\gamma I \end{cases}\]

El siguiente applet interactivo nos representa las soluciones \(\textstyle S(t), I(t)\) y \(\textstyle R(t)\) del sistema de ecuaciones diferenciales depeniendo de la tasa de transmisión \(\textstyle \beta\) y la tasa de recuperación \(\textstyle \gamma=\frac{1}{\text{tiempo medio de recuperación}}\). En este caso se asume que el tamaño de la población es \(\textstyle N=1\) y por tanto las funciones \(\textstyle S(t), I(t)\) y \(\textstyle R(t)\) representan el porcentaje de la población Susceptibles, Infectado y Recuperado.

]]>Javier FalcóCOVID-19 Data Portals2022-02-07T09:10:31+00:002022-02-07T09:10:31+00:00/posts/MatExp/applied/epidemiology/-Portales-Covid-enCOVID-19 Data Portals

La siguiente lista contiene diversos portales donde puede consultarse los datos de la evolución de la pandemia producida por la Covid-19:

]]>Javier FalcóPaper Traces2021-11-23T12:54:31+00:002021-11-23T12:54:31+00:00/posts/MatExp/discrete/graphs/-Caminos--Trazos-en-papel-en

Materiales:

  • Una base de corcho o cartón
  • Chinchetas
  • Hilo

Instrucciones:

  • Intenta descubrir cuáles de las siguientes casas puedes dibujar de un solo trazo, sin repetir ninguna línea ni levantar el lápiz del papel.
    Casas y grafos
  • Clava las chinchetas en las esquinas de la casa sobre una pizarra de corcho,
  • Ata el extremo del hilo a una de las chinchetas e intenta reproducir el dibujo de la casa.
    • ejemplo de caja ejemplo de caja ejemplo de caja
    Ejemplos de casas/grafos representados con chinchetas e hilo.
]]>Javier FalcóConic Sections2021-10-30T12:54:31+00:002021-10-30T12:54:31+00:00/posts/MatExp/geometry/conics/-conicas--construccion-enLas secciones cónicas son las figuras geométricas que se obtienen al realizar un corte recto a un cono. Estas figuras se caracterizan por sus propiedades de simetría, además de poderse definir de un modo sencillo en términos de distancias entre puntos del plano. Aunque las cónicas han sido estudiadas durante más de dos milenios, el interés por estas figuras ha aumentado en los últimos siglos al descubrirse que las órbitas que describen el movimiento de los astros son, aproximadamente, curvas de este tipo.

Si tenemos un cono vertical de revolución, la circunferencia es la sección que se obtiene al realizar un corte con un plano horizontal. Si la inclinación del plano es menor que la de la recta generatriz obtenemos una elipse. Cuando la inclinación del plano coincide con la inclinación de la recta generatriz, aparece la parábola. Por último, si la inclinación es mayor que la de la recta generatriz obtenemos una hipérbola.

Conic Sections

A continuación mostramos diferentes procesos para construir las cónicas.

Drawing Conic Sections with a String

Estas pestañas son desplegables: pulsa cada una para ver su contenido.

Instrucciones:

  • Fija el bolígrafo, lápiz o tiza a uno de los extremos de la cuerda. Fija el otro extremo en el punto que será el centro de la circunferencia y, manteniendo la cuerda tensa en todo momento, dibuja la figura utilizándola como si fuera un compás.

Arrastra el centro C para mover la circunferencia. El lápiz recorre la curva al mover el deslizador.

Director Circle Method

Estas pestañas son desplegables: pulsa cada una para ver su contenido.

Instrucciones:

  • Dibuja una circunferencia lo más grande posible sobre un papel. El radio de la circunferencia será el semieje mayor de la elipse.
  • Marca un segmento que atraviese la circunferencia y pase por el centro.
  • Marca dos puntos F1 y F2 del segmento que estén dentro del círculo y a la misma distancia del centro. Estos serán los focos de la elipse.
  • Coloca una escuadra dentro del círculo de modo que uno de los lados pase por el punto F1 y el vértice de su ángulo recto se apoye sobre la circunferencia.
  • Marca el segmento interior de la circunferencia definido por el lado de la escuadra que no pasa por F1.
  • Repite el paso anterior cambiando la posición de la escuadra hasta recorrer toda la circunferencia. Aunque en cada paso se puede utilizar cualquiera de los focos, es más fácil usar el que se encuentra a mayor distancia del punto escogido de la circunferencia.

Haz clic en F1 o F2 (el foco activo tiene un anillo naranja) para elegir con qué foco trabajas. El deslizador recorre el semicírculo de ese foco. Cambia al otro foco para completar la elipse.

Creating Conics with Paper Folding

Estas pestañas son desplegables: pulsa cada una para ver su contenido.

Instrucciones:

  • Dibuja un círculo lo más grande posible en un papel y marca su centro F1. Este será el primer foco de la elipse. Aunque puede utilizarse cualquier papel, el de papiroflexia funciona muy bien porque es resistente y los plegados quedan marcados con claridad, lo que facilita su visualización.
  • Marca un punto como F2 dentro del círculo que no sea su centro, pero que esté alejado del borde. Este será el segundo foco de la elipse. Es recomendable que los focos estén separados para que la elipse se aprecie mejor.
  • Dobla el papel de modo que el punto F2 se coloque encima de cualquier punto de la circunferencia y aprieta el pliegue para marcarlo en el papel.
  • Abre el papel y coloca el punto F2 sobre otro punto de la circunferencia cercano al primero. Marca de nuevo el pliegue en el papel.
  • Repite el paso anterior escogiendo nuevos puntos hasta recorrer toda la circunferencia completa.
  • Al finalizar debería de apreciarse una elipse. Si este no es el caso, continúa realizando más pliegues hasta que se note bien la figura.

Se eligen puntos equiespaciados sobre la circunferencia y, en cada paso, el papel se pliega para hacer coincidir F2 con el punto seleccionado.

]]>Javier FalcóSolving the Rubik’s Cube2021-02-25T09:00:31+00:002021-02-25T09:00:31+00:00/posts/MatExp/algebra/groups/MatExp-Cubo-en .frame-container { position: relative; padding-bottom: 56.25%; padding-top: 35px; height: 0; overflow: hidden; } .frame-container iframe { position: absolute; top:0; left: 0; width: 100%; height: 100%; }
]]>Javier FalcóLotka-Volterra Predator-Prey Model Simulation2021-02-22T09:00:31+00:002021-02-22T09:00:31+00:00/posts/MatExp/applied/modeling/-Modelo-Predador-Presa-de-Lotka-Volterra-enEl modelo Depredador-Presa utiliza las ecuaciones de Lotka-Volterra propuestas de forma independiente por Alfred J. Lotka (1880 – 1949) en 1925 y Vito Volterra (1860 – 1940) en 1926 para describir la dinámica de sistemas biológicos en los que dos especies interactúan. Este modelo estudia la evolución de dos sociedades que conviven en un entorno, una como presa y otra como depredador. Por ejemplo una población formada por lobos y conejos. 

Lobos vs conejos

En este caso tenemos dos poblaciones cuya evolución depende del tiempo y de las interacciones entre las mismas. La modelización de esta situación requiere de dos ecuaciones diferenciales con dos incógnitas.

Denotando por \(\textstyle L(t)\) el número de lobos y por \(\textstyle C(t)\) el número de conejos, las ecuaciones propuestas por Lotka y Volterra que representan el modelo matemáticamente son:

\[\begin{cases} \frac{dC}{dt}&=\alpha C -\beta L\cdot C,\\ \frac{dL}{dt}&=\delta L\cdot C -\gamma L. \end{cases}\]

Los parámetros \(\textstyle \alpha, \beta, \delta\) y \(\textstyle \gamma\) son números positivos que representan las interacciones de las dos especies. La primera de las ecuaciones nos indica que la cantidad de conejos aumenta de modo proporcional a su número, pero disminuye de forma proporcional a la cantidad de encuentros entre las dos especies porque los lobos se comen a los conejos. La segunda de las ecuaciones establece que la cantidad de lobos aumenta de modo proporcional a las interacciones entre las dos especies, pero disminuye de modo proporcional a la cantidad de lobos. Esta disminución aparece porque al haber más lobos conviviendo juntos hay más competencia y dificultad para conseguir presas. A diferencia de los lobos, suponemos que los conejos no tienen dificultad para encontrar comida independientemente de cuántos haya.

El siguiente applet interactivo nos representa las soluciones de la funciones \(\textstyle L(t)\) y \(\textstyle C(t)\) dependiendo de los parámetros \(\textstyle \alpha, \beta, \delta\) y \(\textstyle \gamma\).

]]>Javier FalcóThe Cinema Popcorn Box2020-10-16T12:54:31+00:002020-10-16T12:54:31+00:00/posts/MatExp/analysis/derivatives/-Optimizacion--Caja-de-palomitas-en

Materiales:

  • Hojas tamaño A4.
  • Cinta adhesiva.
  • Una bolsa grande de palomitas cocinadas.

Instrucciones:

  • Marca en una hoja A4 cuatro cuadrados en las esquinas utilizando la altura que crees que es óptima para la construcción de la caja de palomitas. Anota el valor seleccionado de la altura (los cuatro cuadrados tienen la misma).
    caja de palomitas
  • Recorta esta altura y monta la caja de palomitas doblando la hoja por la línea discontinua y pegando las paredes de la caja con la cinta adhesiva.
  • Repite los pasos anteriores para montar varias cajas de distintos tamaños.
    • Ejemplo de caja Ejemplo de caja Ejemplo de caja
    Ejemplos de cajas.
  • Compara la capacidad de las distintas cajas. Para comparar la capacidad de las cajas de palomitas, rellenamos la caja con palomitas hasta cubrirla por completo, pero sin que las palomitas sobresalgan de la misma. Las palomitas pueden romperse y apretarse para que quepan más dentro de la caja. A continuación vuelca las palomitas de una caja llena en otra vacía. Si caben todas las palomitas dentro de esta segunda caja y todavía queda espacio para añadir más palomitas, quiere decir que esta tiene mayor capacidad y por tanto su volumen está mas optimizado.

    • Caja óptima Descargar plantilla

Esta actividad resulta más exacta si en lugar de utilizar palomitas cocinadas se utiliza un material que rellene mejor la caja como pueden ser los granos de palomitas o arroz. Pero siempre es más divertido y provechoso el conocimiento cuando se digiere.

Finding the Optimal Box.

Para estudiar cuál es la caja con mayor capacidad hemos de considerar la función que nos da el volumen de la caja dependiendo de las dimensiones del corte que realizamos. En este caso es altura por anchura por profundidad en milímetros, \(Vol(x)=(297-2x)\cdot(210-2x)\cdot x = 4 x^3 - 1014x^2 + 62370x.\)

En nuestro contexto esta función solo tiene sentido para valores de \(\textstyle x\) entre 0 y 105 porque no podemos hacer cortes con longitudes negativas ni que sean más grandes que la mitad de la anchura de la hoja A4.

Para utilizar el método del intervalo cerrado, lo primero que tenemos que hacer es encontrar los puntos críticos de la función. La derivada de la función volumen es: \(Vol'(x)=12x^{2}-2028x+62370.\)

Utilizando la fórmula que nos da la solución para una ecuación de segundo grado \(\textstyle \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) con \(\textstyle a=12, b=-2028\) y \(\textstyle c=62370\) obtenemos que los puntos críticos, en los que \(\textstyle Vol'(x)\) es igual a cero, son \(\textstyle \frac{2028\pm\sqrt{1119024}}{24}\), aproximadamente \(\textstyle 40.42\) y \(\textstyle 128.58\) milímetros. Es importante señalar que el segundo de los valores no nos sirve porque es mayor que 105.

Evaluando \(\textstyle Vol(x)\) en \(\textstyle x=0\), \(\textstyle x=40.423\) y en \(\textstyle x=105\) obtenemos: \(Vol(0)=0, Vol(40.423)=1128425, Vol(105)=0,\)

por lo que el mayor volumen que podemos obtener es \(\textstyle 1\,128\,425\) milímetros cúbicos cuando el corte que realizamos es de \(\textstyle 40.42\) milímetros aproximadamente.

]]>Javier FalcóThe Train’s Direction2020-10-16T12:54:31+00:002020-10-16T12:54:31+00:00/posts/MatExp/analysis/derivatives/-Siginificado-geometrico--Direccion-de-los-trenes-en

Materiales:

  • Papel cuadriculado.
  • Juego de trenes con vías de madera.

Instrucciones:

  • Descarga y monta el siguiente sistema de coordenadas.
  • Coloca las vías de madera sobre el papel cuadriculado siguiendo las indicaciones que se dan en la gráfica:
    vias del tren
    La parte superior del recorrido marcado por las vías sigue la ecuación $$f(t)=\sqrt{121-t^2}.$$
  • Desplaza el tren por las vías en sentido antihorario.
    • vias del tren
  • El principio de la vía marcada con rojo corresponde a los valores $$\textstyle\left(t,f(t)\right)=\left(\frac{11}{\sqrt{2}},\frac{11}{\sqrt{2}}\right).$$ Calcula la derivada de la función $$\textstyle f$$ en este punto.
  • Elimina la via marcada de color rojo y empujar el tren con suficiente fuerza para que siga su transcurso natural al pasar el punto marcado de color rojo.
    El video se añadirá en breve.
  • Calcula el desplazamiento horizontal realizado por el tren desde el punto marcado hasta el punto en el que este se ha detenido. Nota que horizontalmente el tren se desplazará hacia la derecha produciendo un desplazamiento positivo, mientras que verticalmente el tren se desplazará hacia abajo produciendo un desplazamiento negativo.
    vias del tren
    El cociente dado por $$\frac{\text{desplazamiento vertical}}{\text{desplazamiento horizontal}}$$ ha de coincidir con el valor de la derivada en el punto $$\textstyle t=\frac{11}{\sqrt{2}}.$$

Computing the Derivative.

La función que representa la parte superior de la vía es \(f(t)=\sqrt{121-t^2}\)

Por tanto su derivada es:

\[f'(t)=\frac{-t}{\sqrt{121-t^2}}.\]

Sutituyendo en el punto \(\textstyle t=\frac{11}{\sqrt{2}}\) obtenemos

\[f'(t)=\frac{-\frac{11}{\sqrt{2}}}{\sqrt{121-\left(\frac{11}{\sqrt{2}}\right)^2}}=\frac{-\frac{11}{\sqrt{2}}}{\sqrt{121-\frac{121}{2}}}=\frac{-\frac{11}{\sqrt{2}}}{-\frac{11}{\sqrt{2}}}=-1.\]

Esto coincide con el desplazamiento que hemos visto en el video que es de 6 unidades hacia la izquierda y 6 unidades hacia arriba; \(\frac{8}{-8}=-1.\)

]]>Javier Falcó